Od komputerowych dywanów i wirtualnych nici, poprzez fraktale i formy roślinne stale zbliżamy się do natury. Dzisiaj do badań włączymy kolejny element przyrody - króliki, a naszym narzędziem będzie pewne nadzwyczaj proste równanie, w którym tkwi niezwykła tajemnica.
Od komputerowych dywanów i wirtualnych nici, poprzez fraktale i formy roślinne stale zbliżamy się do natury. Dzisiaj do badań włączymy kolejny element przyrody - króliki, a naszym narzędziem będzie pewne nadzwyczaj proste równanie, w którym tkwi niezwykła tajemnica.
W spółczesna matematyka zna pojęcie tzw. chaosu deterministycznego. Chaos - czyli bałagan, nieporządek, nieprzewidywalność, i determinizm, czyli zaprzeczenie tych cech w jednym określeniu? Najpierw zbadamy proste równanie, w którym jest chaos - pomoże nam to zrozumieć najważniejsze pojęcia stosowane w tej dziedzinie nauki. Potem zajmiemy się niezwykłą grafiką komputerową, u której podstaw leży deterministyczny chaos.
Wyobraźmy sobie łąkę, na której żyje stado królików. Króliki jedzą trawę i oczywiście - jak to króliki - mnożą się. Ponieważ jednak łąka jest ograniczona, zbyt dynamiczny przyrost stada wpędzi króliki w kłopoty - lada dzień zacznie im brakować pokarmu. Potrafimy utworzyć bardzo prosty model matematyczny wspomnianej sytuacji, opisujący zmienność populacji poddanej takiej specyficznej presji środowiska. Znajdowanie takich równań jest jednym z głównych zadań nauki, zwanej ekologią populacji.
Niech liczebność królików będzie oznaczona symbolem N i niech z powodów technicznych będzie to tzw. liczebność względna albo inaczej - unormowana od wartości 0 (nie ma królików) do 1 (jest maksymalnie dużo królików i na łące więcej ich się już nie zmieści).
Drugim parametrem dynamiki populacji będzie intensywność rozmnażania, którą oznaczymy - za zawodowymi ekologami - symbolem R. Liczba ta oznacza wprost, ile nowych królików powstanie z jednego statystycznego królika w pojedynczym kroku symulacji, który dla uproszczenia nazwiemy dniem.
  Rysunek 1. Symulacja wzrostu liczebności trzech stad królików o różnych intensywnościach rozmnażania R. Populacje stabilizują się na pewnych poziomach równowagi. Wykresy te można sporządzić choćby za pomocą najprostszego kalkulatora. Wkrótce odkryjemy takie intensywności rozmnażania, dla których nie ma żadnej równowagi - będą to populacje niestabilne. |  Rysunek 2. Na osi poziomej znajdują się różne intensywności rozmnażania, na pionowej liczebności po długiej iteracji równania wzrostu (liczebności końcowe). Dla każdej wartości R z zakresu od 2 do 4 przetestowaliśmy 1000 stad, startujących z wylosowanych liczebności początkowych. Wykres ten pokazuje, że dla małych intensywności rozmnażania równanie wzrostu prowadzi do jedynej liczebności równowagowej. Ze wzrostem R pojawiają się dwie liczebności docelowe, potem cztery, potem jeszcze więcej, wreszcie nieskończenie dużo… Stado nie znajduje punktu równowagi dla swojej populacji. Targa nim deterministyczny chaos. |
Równanie dziennego wzrostu stada ograniczanego zasobami pokarmu ma następującą postać:
N = N * R * (1 - N)
Jest to prosta, ale bardzo ciekawa zależność. Nowa liczba królików (po lewej stronie znaku przypisania) jest wprost proporcjonalna do dotychczasowej ich liczby, przemnożonej przez intensywność rozmnażania. To oczywiste, szczególnie przy naszej definicji współczynnika R - liczby królików rodzonych przez statystycznego królika. Mając liczebność początkową - powiedzmy N = 0,5 - i konkretną intensywność rozmnażania R, choćby na kalkulatorze możemy natychmiast obliczyć jutrzejszą wartość N, potem na następny dzień itd.
Jednak czynnik w nawiasie jest niepokojący. Gdy N zbliża się do jedności, czynnik w nawiasie tłumi wzrost stada, bo wyrażenie 1 - N zbliża się do zera. Przy naszym rozumieniu liczebności unormowanej N oznacza to, że stado osiąga maksymalną możliwą do wyżywienia liczbę osobników i rozwój populacji nie jest dalej możliwy.
To niewinne równanie w najprostszej formie ujmuje grę dwóch przeciwstawnych sił - wzrostu dzięki rozmnażaniu i spadku z powodu głodu, gdy na ograniczonej łące zaczyna brakować trawy.
Równanie jest ciekawe także z tego powodu, że interesujący nas parametr N znajduje się z obu jego stron - z prawej strony jest to liczebność dotychczasowa, a z lewej nowa jej wartość, będąca funkcją liczebności dotychczasowej. Równania tego typu zazwyczaj są trudne do rozwiązania analitycznego, ale dzięki technice komputerowej rozwiązujemy je tzw. metodą iteracji. Polega to na wybraniu liczebności początkowej i znajdowaniu liczebności następnej na podstawie dotychczasowej oraz wielokrotnym powtarzaniu tego algorytmu za pomocą pętli.
 Rysunek 3. Wykładnik Lapunowa przedstawiony dla szerokiego spektrum intensywności rozmnażania wykazuje obszary stad stabilnych (gdy jest ujemny) i wzrastających chaotycznie (dodatni). Duża intensywność rozmnażania prowadzi do chaosu, ale można znaleźć liczne wyspy stabilności. |  Rysunek 4. "Kołdra współczynników" Lapunowa dla opisanej w tekście populacji wzrastającej z dwoma intensywnościami rozmnażania. Stabilne populacje znajdują się w głębokich rowach - tam wykładnik Lapunowa jest ujemny. Daleko z tyłu widzimy chaos populacji o intensywnościach rozmnażania bliskich wartości 4. Ten program jest dość złożony, bo posługuje się algorytmami projekcji przestrzennej, a jego źródła znajdują się w załączonych materiałach. |
YUMI pozwala na łatwe tworzenie samostartujących pendrive'ów. Można na nich umieszczać...
